Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}+5x+4|．x≤0}\\{2|x-a|．x＞0}\end{array}\right.$的圖象在R上不間斷．
（1）求正實數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x≥1時，函數(shù)h（x）=kx-2|x-2|≥0恒成立．求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m|x|=0恰好有4個解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}+5x+4|．x≤0}\\{2|x-a|．x＞0}\end{array}\right.$的圖象在R上不間斷，可得x=0時，兩段函數(shù)的函數(shù)值相等，即4=2×|-a|，解得正實數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x≥1時，函數(shù)h（x）=kx-2|x-2|≥0恒成立．k≥$\frac{2|x-2|}{x}$，分當(dāng)x∈[1，2]時和當(dāng)x∈（2，+∞）時，兩種情況討論，可得滿足條件的實數(shù)k的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m|x|=0恰好有4個解，函數(shù)y=f（x）與y=m|x|的圖象有四個交點，對m值進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}+5x+4|．x≤0}\\{2|x-a|．x＞0}\end{array}\right.$的圖象在R上不間斷．
∴4=2×|-a|，
解得a=2，或a=-2（舍去），
∴正實數(shù)a=2，
（2）當(dāng)x≥1時，函數(shù)h（x）=kx-2|x-2|≥0，即k≥$\frac{2|x-2|}{x}$，
當(dāng)x∈[1，2]時，k≥$\frac{2|x-2|}{x}$=$\frac{4}{x}$-2為減函數(shù)，故k≥2，
當(dāng)x∈（2，+∞）時，k≥$\frac{2|x-2|}{x}$=2-$\frac{4}{x}$為增函數(shù)，故k≥0；
綜上所述：k≥2，
即實數(shù)k的取值范圍為[2，+∞），
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m|x|=0恰好有4個解，
即函數(shù)y=f（x）與y=m|x|的圖象有四個交點，
①當(dāng)m＜0時，函數(shù)y=f（x）與y=m|x|的圖象無交點，不滿足條件；
②當(dāng)m=0時，函數(shù)y=f（x）與y=m|x|的圖象有三個交點，不滿足條件；
③當(dāng)m＞0時，若與y=mx與y=2x-4平行，即m=2，則函數(shù)y=f（x）與y=m|x|的圖象有三個交點，
則m≥2時，函數(shù)y=f（x）與y=m|x|的圖象有三個交點，
若y=-mx與y=-（x²+5x+4）相切，則函數(shù)y=f（x）與y=m|x|的圖象有五個交點，
即x²+（5-m）x-4=0的△=（5-m）²-16=0，解得：m=1，或m=9（舍去），
即m=1時，函數(shù)y=f（x）與y=m|x|的圖象有五個交點，
0＜m＜1時，函數(shù)y=f（x）與y=m|x|的圖象有六個交點，
故當(dāng)1＜m＜2時，函數(shù)y=f（x）與y=m|x|的圖象有四個交點，
故實數(shù)m的取值范圍為（1，2）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點與方程的根，恒成立問題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．