Question

15．設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₂₀₁₅=2015，則$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)得a₂+a₂₀₁₄=2，由此利用均值定理能求出$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$的最小值．

解答 解：∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_n＞0，且S₂₀₁₅=2015，
∴a₁+a₂₀₁₅=a₂+a₂₀₁₄=2，
∴a₂•a₂₀₁₄≤$（\frac{{a}_{2}+{a}_{2014}}{2}）^{2}$=1，
∴$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$=$\frac{{a}_{2014}+{a}_{2}}{{a}_{2}•{a}_{2014}}$=$\frac{2}{{a}_{2}•{a}_{2014}}$≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)a₂=a₂₀₁₄=1時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2014}}}}$的最小值為2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列中兩項(xiàng)倒數(shù)和的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列的性質(zhì)和均值定理的合理運(yùn)用．