Question

14．已知{a_n}是公比小于1的等比數(shù)列，且a₂=2，a₁+a₃=5，設(shè)T_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，則（　�。�

• A． 12≤T_n＜16
• B． 8≤T_n＜16
• C． 12≤T_n＜$\frac{32}{3}$
• D． 8≤T_n＜$\frac{32}{3}$

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．

解答 解：{a_n}是公比q小于1的等比數(shù)列，
∵a₂=2，a₁+a₃=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=2}\\{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=5}\end{array}\right.$，q＜1，
解得q=$\frac{1}{2}$，a₁=4．
∴${a}_{n}=4×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^3-n，
∴a_na_n+1=2^3-n•2^2-n=2^5-2n．
設(shè)T_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=2³+2¹+2^-1+…+2^5-2n=$\frac{8（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$，
∴8＜T_n＜$\frac{32}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．