Question

8．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足條件：f（xy）=f（x）f（y）對(duì)所有正實(shí)數(shù)x，y成立，且f（2）=4，當(dāng)x＞1時(shí)有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（1）和f（8）的值；
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式：16f（$\frac{1}{2x+1}$）≥f（x-3）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用賦值法，代入計(jì)算求f（1）和f（8）的值；
（Ⅱ）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（Ⅲ）利用單調(diào)性，將不等式化為具體不等式，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：∵f（xy）=f（x）f（y），∴f（1×2）=f（1）f（2），
∵f（2）=4，∴f（1）=1，
f（4）=f（2）f（2）=16，f（8）=f（2）f（4）=64；
（Ⅱ）證明：設(shè)x₁＞x₂＞0，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
∵當(dāng)x＞1時(shí)有f（x）＞1成立，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞1，
∴f（x₁）=f（x₂•$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₂）f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（Ⅲ）解：16f（$\frac{1}{2x+1}$）≥f（x-3）可化為f（4×$\frac{1}{2x+1}$）≥f（x-3），
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴4×$\frac{1}{2x+1}$≥x-3＞0，
∴-1≤x≤$\frac{7}{2}$，
∴不等式的解集為{x|-1≤x≤$\frac{7}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中高檔題．