Question

5．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)F為橢圓C的右焦點，M為直線x=3上任意一點，過F作MF的垂線交橢圓C于點A，B，N為線段AB的中點，
①證明：O、N、M三點共線（其中O為坐標(biāo)原點）；
②求 $\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$的最小值及取得最小值時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （I）由橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，及a²=b²+c²，求得a²，b²，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）①設(shè)M（3，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為N（x₀，y₀），k_MF=m，設(shè)直線AB的方程為x=-my-2，代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，結(jié)合三點共線的方法：斜率相等，即可得證
②利用兩點間距離公式及弦長公式將$\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$表示出來，由 $\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$取最小值時的條件獲得等量關(guān)系，從而確定點T的坐標(biāo)．

解答 （I）解：∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴c=2，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴a=$\sqrt{6}$，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）設(shè)M（3，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為N（x₀，y₀），k_MF=m
①證明：由F（2，0），可設(shè)直線AB的方程為x=-my-2，
代入橢圓方程可得（m²+3）y²-4my-2=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{2}{{m}^{2}+3}$
于是N（$\frac{6}{{m}^{2}+3}$，$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$），則直線ON的斜率k_ON=$\frac{m}{3}$，
又k_OM=$\frac{m}{3}$，
∴k_OM=k_ON，
∴O，N，N三點共線
②由兩點間距離公式得|MF|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
由弦長公式得|PQ|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$•|y₁-y₂|=$\frac{\sqrt{24}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+3}$，
∴$\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$=$\frac{{m}^{2}+3}{2\sqrt{6}•\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
令x=$\sqrt{{m}^{2}+1}$（x≥1），
則$\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$=$\frac{{x}^{2}+2}{2\sqrt{6}x}$=$\frac{1}{2\sqrt{6}}$（x+$\frac{2}{x}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$（當(dāng)且僅當(dāng)x²=2時，取“=”號），
∴當(dāng)$\frac{{|{MF}|}}{{|{AB}|}}$最小時，由x²=2=m²+1，得m=1或m=-1，此時點T的坐標(biāo)為（-3，1）或（-3，-1）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，注意聯(lián)立直線方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，同時考查三點共線的方法：斜率相等，屬于中檔題．