Question

9．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線y²=4x的焦點(diǎn)重合，則a+b的最大值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)，可得雙曲線的c=1，a²+b²=1，令a=cosα，b=sinα（0＜α＜$\frac{π}{2}$），運(yùn)用兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可得到最大值．

解答 解：拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），即有雙曲線的右焦點(diǎn)為（1，0），
即c=1，a²+b²=1，
令a=cosα，b=sinα（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
則a+b=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）
當(dāng)α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，sin（α+$\frac{π}{4}$）取得最大值1，
即有a+b取得最大值$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查三角換元和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運(yùn)用兩角和的正弦公式是解題的關(guān)鍵．