Question

2．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是△ABC的內(nèi)心，若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，則x+y=$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 通過建系如圖并設(shè)O（0，t），利用O是△ABC的內(nèi)心即點O到直線AC的距離與|OD|相等可知O（0，$\frac{3}{2}$），利用$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$化簡即得結(jié)論．

解答 解：取BC的中點D，連結(jié)AD并建系如圖，設(shè)O（0，t），
依題意A（0，4），B（-3，0），C（3，0），
∴直線AC的方程為：4x+3y-12=0，
$\overrightarrow{AB}$=（-3，-4），$\overrightarrow{AC}$=（3，-4），
∴點O到直線AC的距離d=$\frac{|0+3t-12|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$（4-t），
∵O是△ABC的內(nèi)心，
∴|OD|=d，即t=$\frac{3}{5}$（4-t），
解得：t=$\frac{3}{2}$，∴O（0，$\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{AO}$=（0，-$\frac{5}{2}$），
又∵$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$
=x（-3，-4）+y（3，-4）
=（3y-3x，-4x-4y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3y-3x=0}\\{-4x-4y=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴x+y=$\frac{5}{8}$
故答案為：$\frac{5}{8}$．

點評 本題考查平面向量的基本定理及其幾何意義，注意解題方法的積累，屬于中檔題．