Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}，x＜1}\\{{x}^{\frac{1}{2}}，x≥1}\end{array}\right.$，則使f（x）≤2成立的x的取值范圍是（-∞，4]．

Answer 1

分析 由分段函數(shù)可得當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）≤2即為2^x-1≤2，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤2即為${x}^{\frac{1}{2}}$≤2，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，解出不等式，最后求并集即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-1}，x＜1}\\{{x}^{\frac{1}{2}}，x≥1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）≤2即為2^x-1≤2，解得x≤2，即為x＜1；
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≤2即為${x}^{\frac{1}{2}}$≤2，解得x≤4，即為1≤x≤4．
則有x的取值范圍是（-∞，1）∪[1，4]=（-∞，4]．
故答案為：（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：解不等式，主要考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．