Question

13．（1）寫出兩個平面向量的夾角的定義和兩個平面向量數(shù)量積的定義；
（2）寫出兩角差得余弦公式并給出證明．

Answer 1

分析 （1）利用《必修四》課本中的定義即可得出．
（2）在直角坐標(biāo)系xoy中，作單位圓O，以O(shè)x為始邊做角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)A，B．則$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ）．則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cosαcosβ+sinαsinβ．設(shè)$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，利用定義可得：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cosθ．另一方面：由圖可知：α-β=2kπ±θ，k∈Z．可得cos（α-β）=cosθ．即可證明．

解答 解：（1）①兩個平面向量的夾角的定義：已知兩個非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．
當(dāng)θ=0°時，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$同向；當(dāng)θ=180°時，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$反向．
②兩個平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，我們把數(shù)量$|\overrightarrow{a}|$$|\overrightarrow|$cosθ叫做向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的數(shù)量積，記作$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$|\overrightarrow{a}|$$|\overrightarrow|$cosθ．
其中θ叫做$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．
（2）兩角差得余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．
下面給出證明：
在直角坐標(biāo)系xoy中，作單位圓O，以O(shè)x為始邊做角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)A，B．則$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，sinβ）．
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cosαcosβ+sinαsinβ．
設(shè)$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|$cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ．
另一方面：由圖可知：α=2kπ+β±θ，∴α-β=2kπ±θ，k∈Z．
∴cos（α-β）=cosθ．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

點(diǎn)評 本題考查了兩個平面向量的夾角的定義、兩個平面向量數(shù)量積的定義、兩角差得余弦公式及其證明、向量數(shù)量積的定義及其運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．