Question

7．已知函數f（x）=-x+$\frac{m}{x}$-1（x≠0）．
（1）當m=2時，判斷f（x）在（-∞，0）的單調性，并用定義證明．
（2）若對任意x∈（-∞，0），不等式f（x）＞0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當m=2時，函數f（x）=-x+$\frac{2}{x}$-1在（-∞，0）遞減．運用單調性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結論幾個步驟；
（2）由題意可得m＜x²+x在x＜0恒成立，運用二次函數的最值的求法，可得最小值，進而得到m的范圍．

解答 解：（1）當m=2時，函數f（x）=-x+$\frac{2}{x}$-1在（-∞，0）遞減．
證明：設x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=（-x₁-1+$\frac{2}{{x}_{1}}$）-（-x₂-1+$\frac{2}{{x}_{2}}$）
=（x₂-x₁）（1+$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}$），由x₁＜x₂＜0，可得x₂-x₁＞0，
1+$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即有f（x₁）-f（x₂）＞0，
故f（x）在（-∞，0）為減函數；
（2）任意x∈（-∞，0），不等式f（x）＞0恒成立，
即為m＜x²+x在x＜0恒成立，
由y=x²+x=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
當x=-$\frac{1}{2}$時，取得最小值-$\frac{1}{4}$，
即為m＜-$\frac{1}{4}$．則m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考查函數的單調性的判斷和證明，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數分離和二次函數的最值的求法，屬于中檔題．