Question

8．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且a₂=4，S₆=42，數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和為T_n，且b_n=$\frac{1}{S_n}$．
（Ⅰ） 求a_n，S_n；
（Ⅱ） 證明：$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}的公差設(shè)為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)和前n項(xiàng)和；
（Ⅱ）求出b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，可得T_n，再由數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，即可得到所求結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}的公差設(shè)為d，
a₂=4，S₆=42，可得a₁+d=4，6a₁+15d=42，
解得a₁=d=2，
則a_n=2+2（n-1）=2n；S_n=$\frac{1}{2}$n（2+2n）=n（n+1）；
（Ⅱ）證明：b_n=$\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$，
由1-$\frac{1}{n+1}$在n∈N*上遞增，可得T_n≥T₁=$\frac{1}{2}$，
且T_n＜1．
則$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．