Question

13．在△ABC中，AB=2AC=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-1，O是△ABC的外心，若$\overrightarrow{AO}$=x₁$\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，則x₁+x₂的值為$\frac{13}{6}$．

Answer 1

分析 如圖所示，過(guò)點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，兩邊分別作數(shù)量積運(yùn)算即可得出．

解答 解：如圖所示，
過(guò)點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$=2，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{AO}$=x₁$\overrightarrow{AB}$+x₂$\overrightarrow{AC}$，
∴2=x₁$\overrightarrow{AB}$²+x₂$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AC}$，$\frac{1}{2}$=x₁$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+x₂$\overrightarrow{AC}$²，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-1，
化為4x₁-x₂=2，-x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，
解得x₁=$\frac{5}{6}$，x₂=$\frac{4}{3}$．
∴x₁+x₂=$\frac{13}{6}$．
故答案為：$\frac{13}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、圓的垂經(jīng)定理、三角形外心性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．