Question

已知直線l：mx-（m²+1）y=4m（m≥0）和圓C：x²+y²-8x+4y+16=0．有以下幾個(gè)結(jié)論：
①直線l的傾斜角不是鈍角；
②直線l必過(guò)第一、三、四象限；
③直線l能將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為

1

2

的兩段圓�。�
④直線l與圓C相交的最大弦長(zhǎng)為

4 5

5

；
其中正確的是

 

．（寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的番號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：在①中，直線l的方程可化為y=

m

m2+1

x-

4m

m2+1

，從而直線l的斜率k的取值范圍是[0，

1

2

]，由此得到直線l的傾斜角不是鈍角；
在②中，由直線l的方程為：y=k（x-4），其中0≤k≤

1

2

，得當(dāng)k=0或k=

1

2

時(shí)，直線l不過(guò)第一、三、四象限；
在③中，圓心C到直線l的距離d≥

4

5

＞1，從而直線l與圓C相交，圓C截直線l所得的弦所對(duì)的圓心角小于

2π

3

，從而直線l不能將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為

1

2

的兩段��；
④由圓心C到直線l的距離d≥

4

5

，得直線l與圓C相交的最大弦長(zhǎng)為

4 5

5

．

解答： 解：在①中，直線l的方程可化為y=

m

m2+1

x-

4m

m2+1

，
于是直線l的斜率k=

m

m2+1

，
∵|m|≤

1

2

(m2+1)，∴|k|=

|m|

m2+1

≤

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)|m|=1時(shí)等號(hào)成立．
∵m≥0，
∴直線l的斜率k的取值范圍是[0，

1

2

]，
∴直線l的傾斜角不是鈍角，故①正確；
在②中，∵直線l的方程為：y=k（x-4），其中0≤k≤

1

2

，
∴當(dāng)k=0或k=

1

2

時(shí)，直線l不過(guò)第一、三、四象限，故②錯(cuò)誤；
在③中，直線l的方程為：y=k（x-4），其中0≤k≤

1

2

，
圓C的方程可化為（x-4）²+（y+2）²=4，
∴圓C的圓心為C（4，-2），半徑r=2，
于是圓心C到直線l的距離d=

2

1+k2

，
由0≤k≤

1

2

，得d≥

4

5

＞1，即d＞

r

2

，
∴若直線l與圓C相交，
則圓C截直線l所得的弦所對(duì)的圓心角小于

2π

3

，
故直線l不能將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為

1

2

的兩段弧，故③錯(cuò)誤；
由③知圓心C到直線l的距離d≥

4

5

，
∴直線l與圓C相交的最大弦長(zhǎng)為：2

4-( 4 5 )2

=

4 5

5

，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．