Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx+a（ω＞0），其圖象相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求ω和a；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{24}$個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，3π]上的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式及輔助角公式對函數(shù)化簡，根據(jù)周期公式求ω的值，由函數(shù)的周期求得ω，由最大值求得a的值．
（Ⅱ））根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調性求出它的單調區(qū)間，結合x∈[0，3π]，進一步確定函數(shù)的單調區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx+cos²ωx+a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$+a=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，
∵圖象相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴2ω=$\frac{2π}{T}$=2，
∴ω=1，
∵f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$．
∴1+$\frac{1}{2}$+a=$\frac{1}{2}$，
∴a=-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{24}$個單位，可得函數(shù)y=sin[2（x+$\frac{π}{24}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象；
再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$） 的圖象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得4kπ-$\frac{3π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{2}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-$\frac{3π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈z．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得4kπ+$\frac{π}{2}$≤x≤4kπ+$\frac{5π}{2}$，故函數(shù)的減區(qū)間為[4kπ+$\frac{π}{2}$，4kπ+$\frac{5π}{2}$]，k∈z．
再結合x∈[0，3π]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{2}$]、[$\frac{5π}{2}$，3π]；減區(qū)間為[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{2}$]．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．