Question

15．如圖，直三棱柱ABC一A₁B₁C₁中，側(cè)棱長為2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A₁B₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB₁上的動點(diǎn)，AB₁，DF交于點(diǎn)E，要使AB₁⊥平面C₁DF，則線段B₁F的長為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 以C₁為原點(diǎn)，C₁A₁為x軸，C₁B₁為y軸，C₁C為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段B₁F的長．

解答 解：以C₁為原點(diǎn)，C₁A₁為x軸，C₁B₁為y軸，C₁C為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意A₁（1，0，0），B₁（0，1，0），D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），C₁（0，0，0），A（1，0，2），設(shè)F（0，1，t），0≤t≤2，
$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{{{C}_{1}F}^{\;}}$=（0，1，t），
∵AB₁⊥平面C₁DF，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=0}\end{array}\right.$，∴1-2t=0，解得t=$\frac{1}{2}$．
∴線段B₁F的長為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線段長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．