Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=6，直線y=kx與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若△AF₁F₂的周長(zhǎng)為16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，且A，B，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率e的值；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，設(shè)P（x₀，y₀）為橢圓上一點(diǎn)，且直線PA的斜率k₁∈（-2，-1），試求直線PB的斜率k₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得c=3，2a+2c=16，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x\end{array}\right.$，得$（{b^2}+\frac{1}{8}{a^2}）{x^2}-{a^2}{b^2}=0$．由此利用韋達(dá)定理、AB、EF互相平分且共圓，向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出離心率．
（Ⅲ）由橢圓方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$，設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），求出${k_1}{k_2}=\frac{{{y_0}^2-{y_1}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}$，由此能求出直線PB的斜率k₂的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=6，直線y=kx與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
∴由題意得c=3，…（1分）根據(jù)2a+2c=16，得a=5．  …（2分）
結(jié)合a²=b²+c²，解得a²=25，b²=16．…（3分）
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．  …（4分）
（Ⅱ）（解法一）由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x\end{array}\right.$，得$（{b^2}+\frac{1}{8}{a^2}）{x^2}-{a^2}{b^2}=0$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則${x_1}+{x_2}=0，{x_1}{x_2}=\frac{{-{a^2}{b^2}}}{{{b^2}+\frac{1}{8}{a^2}}}$，…（6分）
由AB、EF互相平分且共圓，∴AF₂⊥BF₂，
∵$\overrightarrow{{F_2}A}=（{x_1}-3，{y_1}）$，$\overrightarrow{{F_2}B}=（{x_2}-3，{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=（{x_1}-3）（{x_2}-3）+{y_1}{y_2}=（1+\frac{1}{8}）{x_1}{x_2}+9=0$．
即 x₁x₂=-8，∴$\frac{{-{a^2}{b^2}}}{{{b^2}+\frac{1}{8}{a^2}}}=-8$，
結(jié)合b²+9=a²．解得a²=12，∴離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$． …（8分）
（若設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁）相應(yīng)給分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）結(jié)論，橢圓方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$，…（9分）
由題可設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），${k_1}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}，{k_2}=\frac{{{y_0}+{y_1}}}{{{x_0}+{x_1}}}$，
∴${k_1}{k_2}=\frac{{{y_0}^2-{y_1}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}$，…（10分）
又$\frac{{{y_0}^2-{y_1}^2}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}=\frac{{3（1-\frac{{{x_0}^2}}{12}）-3（1-\frac{{{x_1}^2}}{12}）}}{{{x_0}^2-{x_1}^2}}=-\frac{1}{4}$，即${k_2}=-\frac{1}{{4{k_1}}}$，
由-2＜k₁＜-1可知，$\frac{1}{8}＜{k_2}＜\frac{1}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓的離心率和直線的斜率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與橢圓的相交綜合問題的合理運(yùn)用．