Question

2．已知橢圓的一個頂點為A（0，-$\sqrt{2}$），焦點在x軸上．若右焦點到直線x-y+2$\sqrt{2}$=0的距離為3
（1）求橢圓的標準方程；
（2）P是橢圓上的點，且以點P及兩個焦點為頂點的三角形面積等于1，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）依題意可設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，求出右焦點F（$\sqrt{{a}^{2}-2}$，0），由點到直線距離公式能求出a，由此能求出所求橢圓的方程．
（2）設P（x，y），由三角形面積為1，得：$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•|y|=1$，由此能求出點P的坐標．

解答 解：（1）依題意可設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，則右焦點F（$\sqrt{{a}^{2}-2}$，0），
由題設$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得a²=4，
故所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設P（x，y），由三角形面積為1，
得：$\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•|y|=1$，解得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
代入橢圓，得$x=±\sqrt{3}$，
∴點P的坐標有四個，分別為（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（$\sqrt{3}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查點的坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質和點到直線的距離公式的合理運用．