Question

10．函數(shù)f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$（ω＞0）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形．將函數(shù)f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的π倍，將所得圖象向右平移$\frac{2π}{3}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）求h（x）=lg[g（x）-$\frac{5}{2}$]的定義域；
（3）若3sin²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$m[g（x）-1]≥m+2對(duì)任意x∈[0，2π]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖象求出f（x）的解析式，由圖象變換規(guī)律可求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）可得h（x）的解析式，解三角不等式可得定義域；
（3）不等式轉(zhuǎn)化為m≤$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2}{3sin\frac{x}{2}+1}$，設(shè)t=3sin$\frac{x}{2}$+1，換元由函數(shù)的最值可得．

解答 解：（1）f（x）=3cos²$\frac{ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$=3×$\frac{1+cosωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{3}{2}$
=$\frac{3}{2}$cosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx+$\frac{1}{2}$sinωx）=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
∴A的縱坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，故周期T=2BC=4，∴ω=$\frac{2π}{T}$$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
g（x）=$\sqrt{3}$sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]+1=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+1；
（2）由題意可得g（x）-$\frac{5}{2}$＞0，即$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+1＞$\frac{5}{2}$，
∴sin$\frac{x}{2}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即2kπ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{x}{2}$＜2kπ+$\frac{2π}{3}$，
解得4kπ+$\frac{2π}{3}$＜x＜4kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
∴h（x）=lg[g（x）-$\frac{5}{2}$]的定義域?yàn)椋?kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{4π}{3}$），k∈Z；
（3）由題意可得3sin²$\frac{x}{2}$-3msin$\frac{x}{2}$-m-2≥0，
∵x∈[0，2π]，∴$\frac{x}{2}$∈[0，π]，∴sin$\frac{x}{2}$∈[0，1]，
則m≤$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2}{3sin\frac{x}{2}+1}$，設(shè)t=3sin$\frac{x}{2}$+1，
則t∈[1，4]，sin=$\frac{t-1}{3}$，
y=$\frac{3（\frac{t-1}{3}）^{2}-2}{t}$=$\frac{{t}^{2}-2t-5}{3t}$=$\frac{1}{3}$（t-$\frac{5}{t}$-2）在t∈[1，4]上是增函數(shù)，
∴t=1時(shí)，y_min=-2，∴m≤-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及函數(shù)值域的確定和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．