Question

9．已知點H為△ABC的垂心，且$\overrightarrow{HA}$$•\overrightarrow{HB}$=-3，則$\overrightarrow{BH}$$•\overrightarrow{HC}$的值為3．

Answer 1

分析 利用H為△ABC的垂心，所以AB⊥HC，BC⊥HA，AC⊥HB，然后利用向量表示垂直，用HA，HB，HC對應的向量表示，得到所求．

解答 解：因為H為△ABC的垂心，所以AB⊥HC，BC⊥HA，AC⊥HB，
所以$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{HC}=（\overrightarrow{HB}-\overrightarrow{HA}）\overrightarrow{HC}=0$，所以$\overrightarrow{HB}•\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}•\overrightarrow{HC}$；
同理$\overrightarrow{HC}•\overrightarrow{HA}=\overrightarrow{HB}•\overrightarrow{HA}$，由$\overrightarrow{HA}$$•\overrightarrow{HB}$=-3，
所以 $\overrightarrow{BH}$$•\overrightarrow{HC}$=3；
故答案為：3．

點評 本題考查了三角形的垂心的性質以及平面向量垂直的性質；關鍵是由垂心得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{HC}=（\overrightarrow{HB}-\overrightarrow{HA}）\overrightarrow{HC}=0$．