Question

8．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一個頂點恰好是拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線x=2與橢圓交于P，Q兩點，P點位于第一象限，A，B是橢圓上位于直線x=2兩側的動點．
（i）若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的最大值；
（ii）當點A，B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）設橢圓C的方程為 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由條件利用橢圓的性質求得 b和a的值，可得橢圓C的方程．
（Ⅱ）（i）設AB的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，代入橢圓C的方程化簡，由△＞0，求得t的范圍，再利用利用韋達定理可得 x₁+x₂ 以及x₁+x₂ 的值．再求得P、Q的坐標，根據四邊形APBQ的面積S=S_△APQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$•PQ•|x₁-x₂|，計算求得結果．
（ii）當∠APQ=∠BPQ時，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程為y-1=k（x-2），把它代入橢圓C的方程化簡求得x₂+2=$\frac{8k（2k-1）}{1+{4k}^{2}}$．再把直線PB的方程橢圓C的方程化簡求得x₂+2 的值，可得 x₁+x₂ 以及x₁-x₂ 的值，從而求得AB的斜率K的值．

解答 解：設橢圓C的方程為 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得它的一個頂點恰好是拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點（0，$\sqrt{2}$），∴b=$\sqrt{2}$．
再根據離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}{-b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得a=2$\sqrt{2}$，∴橢圓C的方程為 $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）（i）設A（ x₁，y₁ ），B（ x₂，y₂），AB的方程為y=$\frac{1}{2}$x+t，
代入橢圓C的方程化簡可得 x²+2tx+2t²-4=0，
由△=4t²-4（2t²-4）＞0，求得-2＜t＜2．
利用韋達定理可得 x₁+x₂=-2t，x₁ •x₂=2t²-4．
在 $\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，-1），
∴四邊形APBQ的面積S=S_△APQ+S_△BPQ=$\frac{1}{2}$•PQ•|x₁-x₂|
=$\frac{1}{2}$×2×|x₁-x₂|=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{{4t}^{2}-4（{2t}^{2}-4）}$=$\sqrt{16-{4t}^{2}}$，
故當t=0時，四邊形APBQ的面積S取得最大值為4．
（ii）當∠APQ=∠BPQ時，PA、PB的斜率之和等于零，設PA的斜率為k，則 PB的斜率為-k，
PA的方程為y-1=k（x-2），把它代入橢圓C的方程化簡可得（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-8=0，
∴x₁+2=$\frac{8k（2k-1）}{1+{4k}^{2}}$．
同理可得直線PB的方程為y-1=-k（x-2），x₂+2=$\frac{8k（2k+1）}{1+{4k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{1{6k}^{2}-4}{1+{4k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-16k}{1+{4k}^{2}}$，∴AB的斜率K=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{1-k{（x}_{2}-2）-[1+k{（x}_{1}-2）]}{{x}_{2}{-x}_{1}}$ 
=$\frac{4k-k{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{k{（x}_{1}{+x}_{2}）-4k}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=$\frac{k•\frac{1{6k}^{2}-4}{1+{4k}^{2}}-4k}{\frac{-16k}{1+{4k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查求圓錐曲線的標準方程，圓錐曲線的定義、性質的應用，直線和圓錐曲線相交的性質，直線的斜率公式、韋達定理的應用，屬于難題．