Question

13．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（-c，0）作圓x²+y²=a²的切線，切點為E，延長FE交拋物線y²=4cx于點P，O為原點，若$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}）$，則雙曲線的離心率為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由題設(shè)知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，過F點作x軸的垂線l，過P點作PD⊥l，則l為拋物線的準(zhǔn)線，
據(jù)此可求出P點的橫坐標(biāo)，后在Rt△PDF中根據(jù)勾股定理建立等式，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF
∴|EF|=b，
∵$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}）$，
∴E為PF的中點，|PF|=2b，
又∵O為FF′的中點，
∴PF′∥EO，
∴|PF′|=2a，
∵拋物線方程為y²=4cx，
∴拋物線的焦點坐標(biāo)為（c，0），
即拋物線和雙曲線右支焦點相同，
過F點作x軸的垂線l，過P點作PD⊥l，則l為拋物線的準(zhǔn)線，
∴PD=PF′=2a，
∴P點橫坐標(biāo)為2a-c，設(shè)P（x，y），
在Rt△PDF中，PD²+DF²=PF²，即4a²+y²=4b²，4a²+4c（2a-c）=4（c²-b²），
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
故答案為：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查雙曲線的定義及性質(zhì)，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．