Question

14．記直線x-3y-1=0的傾斜角為α，曲線y=lnx在（2，ln2）處切線的傾斜角為β．則α-β=-arctan$\frac{1}{7}$．

Answer 1

分析 求出曲線y=1nx在（2，1n2）處切線斜率，從而可得tanα=$\frac{1}{3}$，tanβ=$\frac{1}{2}$，利用差角的正切公式，即可求出α-β．

解答 解：∵y=1nx，∴y′=$\frac{1}{x}$，
x=2時(shí)，y′=$\frac{1}{2}$，
∵直線x-3y-l=0的傾斜角為α，曲線y=1nx在（2，1n2）處切線的傾斜角為β，
∴tanα=$\frac{1}{3}$，tanβ=$\frac{1}{2}$，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=-$\frac{1}{7}$，
∵0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，
∴α-β=-arctan$\frac{1}{7}$．
故答案為：-arctan$\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查斜率與傾斜角之間的關(guān)系，考查和角的正切公式，確定tanα=$\frac{1}{3}$，tanβ=$\frac{1}{2}$，是解題的關(guān)鍵．