Question

20．設(shè)f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求證：①a＞0且-2＜$\frac{a}$＜-1；②方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有兩個實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 ①先將f（0）＞0，f（1）＞0，利用函數(shù)式中的a，b，c進(jìn)行表示，再結(jié)合等式關(guān)系利用不等式的基本性質(zhì)即可得到a和$\frac{a}$的范圍即可．
②欲證明方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有兩個實(shí)根，根據(jù)根的存在性定理，只須證明某一個函數(shù)值小于0即可，最后只須證明在二次函數(shù)頂點(diǎn)處的函數(shù)值小于0即可．

解答 證明：①因?yàn)閒（0）＞0，f（1）＞0，
所以c＞0，3a+2b+c＞0．
由條件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由條件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．
故-2＜$\frac{a}$＜-1；
②拋物線f（x）=3ax²+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3a}$，$\frac{3ac-^{2}}{3a}$），
在-2＜$\frac{a}$＜-1的兩邊乘以-$\frac{1}{3}$，得$\frac{1}{3}$＜-$\frac{3a}$＜$\frac{2}{3}$．
又因?yàn)閒（0）＞0，f（1）＞0，
而f（-$\frac{3a}$）=-$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{3a}$＜0，
所以方程f（x）=0在區(qū)間（0，-$\frac{3a}$）與（-$\frac{3a}$，1）內(nèi)分別有一實(shí)根．
故方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有兩個實(shí)根．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)與不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．