Question

4．2014年3月的“兩會(huì)”上，李克強(qiáng)總理在政府工作報(bào)告中，首次提出“倡導(dǎo)全民閱讀”．某學(xué)校響應(yīng)政府倡導(dǎo)，在學(xué)生中發(fā)起讀書熱潮．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了從2014年下半年以來(lái)，學(xué)生每半年人均讀書量，如下表：

時(shí)間	2014年下半年	2015年上半年	2015年下半年	2016年上半年	2016年下半年
時(shí)間代號(hào)t	1	2	3	4	5
人均讀書量y（本）	4	5	6	7	9

根據(jù)散點(diǎn)圖，可以判斷出人均讀書量y與時(shí)間代號(hào)t具有線性相關(guān)關(guān)系．
（Ⅰ）求y關(guān)于t的回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$t+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）根據(jù)所求的回歸方程，預(yù)測(cè)該校2017年上半年的人均讀書量．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估公式分別為：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n\overline{t}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{t}_{i}}^{2}-n{\overline{t}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意計(jì)算$\overline{t}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程； 
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的線性回歸方程計(jì)算t=6時(shí)$\widehat{y}$的值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，計(jì)算$\overline{t}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（4+5+6+7+9）=6.2，
$\sum_{i=1}^{5}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-2）×（-2.2）+（-1）×（-1.2）+0×（-0.2）+1×0.8+2×2.8=12，
$\sum_{i=1}^{5}$${{（t}_{i}-\overline{t}）}^{2}$=（-2）²+（-1）²+0²+1²+2²=10；
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{12}{10}$=1.2，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{t}$=6.2-1.2×3=2.6，
∴y關(guān)于t的線性回歸方程為$\widehat{y}$=1.2t+2.6； 
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的線性回歸方程，計(jì)算t=6時(shí)，
$\widehat{y}$=1.2×6+2.6=9.8，
預(yù)測(cè)該校2017年上半年學(xué)生人均讀書量約為9.8本．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算與推理能力，是中檔題．