Question

3．已知奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（2）=0，則不等式（x-1）•f（x）＜0的解集為{x|0＜x＜1或x＜-2或x＞2}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0，
且函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
則f（x）對(duì)應(yīng)的圖象如圖：
不等式（x-1）•f（x）＜0等價(jià)為：
①$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{-2＜x＜0或x＞2}\end{array}\right.$，
∴x＞2．
②$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{0＜x＜2或x＜-2}\end{array}\right.$，
∴0＜x＜1或x＜-2，
綜上不等式的解0＜x＜1或x＜-2或x＞2．
綜上：解集為{x|0＜x＜1或x＜-2或x＞2}．
故答案為：{x|0＜x＜1或x＜-2或x＞2}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．