Question

 [2012·湖南卷] 如圖1－7，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

(1)證明：BD⊥PC；

(2)若AD＝4，BC＝2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

解：(1)證明：因?yàn)?i>PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.

圖1－8

又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，所以BD⊥平面PAC.

而PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.

(2)設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)PO，由(1)知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直線PD和平面PAC所成的角．從而∠DPO＝30°.

由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO.

在Rt△POD中，由∠DPO＝30°得PD＝2OD.

因?yàn)樗倪呅?i>ABCD為等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均為等腰直角三角形．從而梯形ABCD的高為AD＋BC＝×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面積S＝×(4＋2)×3＝9.

在等腰直角三角形AOD中，OD＝AD＝2，所以PD＝2OD＝4，PA＝＝4.

故四棱錐P－ABCD的體積為

V＝×S×PA＝×9×4＝12.