Question

11．若存在x∈（0，+∞），使不等式ax+3a-1＜e^-x成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． {a|0＜a＜$\frac{1}{3}$}
• B． {a|a＜$\frac{2}{3}$}
• C． {a|a＜$\frac{2}{e+1}$}
• D． {a|a＜$\frac{1}{3}$}

Answer 1

分析 通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)從而求出a的范圍即可．

解答 解：若a≤0，當(dāng)x∈（0，+∞）時，ax+3a-1＜0，而${（\frac{1}{e}）}^{x}$＞0，
此時結(jié)論成立；
若a＞0，由于f（x）=${（\frac{1}{e}）}^{x}$在（0，+∞）遞減，則0＜f（x）＜1，
又f（x）與y軸的交點為（0，1）且g（x）=ax+3a=1與y軸的交點為（0，3a-1），
如果存在x∈（0，+∞），使不等式ax+3a-1＜e^-x成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜$\frac{2}{3}$，
綜上：a＜$\frac{2}{3}$．
故選：B．

點評 本題考察了一次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考察分類討論和轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．