Question

5．如圖，△ABC所在平面上的點P_n（n∈N^*）均滿足△P_nAB與△P_nAC的面積比為3：1，$\overrightarrow{{P_n}A}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$-（2x_n+1）$\overrightarrow{{P_n}C}$（其中，{x_n}是首項為1的正項數列），則x₄等于（　�。�

• A． 15
• B． 17
• C． 33
• D． 31

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{{P_n}A}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$-（2x_n+1）$\overrightarrow{{P_n}C}$可得$\overrightarrow{{P_n}A}$+（2x_n+1）$\overrightarrow{{P_n}C}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$，畫出圖形后利用三角形面積的關系得到數列遞推式，然后構造等比數列得答案

解答 解：由$\overrightarrow{{P_n}A}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$-（2x_n+1）$\overrightarrow{{P_n}C}$得$\overrightarrow{{P_n}A}$+（2x_n+1）$\overrightarrow{{P_n}C}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$，
設$\overrightarrow{{P}_{n}D}$=（2${x}_{n}+1）\overrightarrow{{P}_{n}C}$$\overrightarrow{{P}_{n}C}$，
以線段P_nA、P_nD作出平行四邊形AEDP_n，如圖，
則$\overrightarrow{{P}_{n}A}+\overrightarrow{{P}_{n}D}=\overrightarrow{{P}_{n}E}$=$\frac{{{x_{n+1}}}}{3}$$\overrightarrow{{P_n}B}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}E}|}{|\overrightarrow{{P}_{n}B}|}=\frac{{x}_{n+1}}{3}$，∴$\frac{{S}_{△{P}_{n}AE}}{{S}_{△{P}_{n}AB}}=\frac{{x}_{n+1}}{3}$，
∵$\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}C}|}{|\overrightarrow{{P}_{n}D}|}=\frac{|\overrightarrow{{P}_{n}C}|}{AE}=\frac{1}{2{x}_{n}+1}$，
∴$\frac{{S}_{△{P}_{n}AC}}{{S}_{△{P}_{n}AD}}=\frac{{S}_{△{P}_{n}AC}}{{S}_{△{P}_{n}AE}}=\frac{1}{1+2{x}_{n}}$，
則$\frac{{S}_{△{P}_{n}AC}}{{S}_{△{P}_{n}AB}}$=$\frac{{x}_{n+1}}{3（1+2{x}_{n}）}=\frac{1}{3}$，
即x_n+1=2x_n+1，∴x_n+1+1=2（x_n+1），
則{x_n+1}構成以2為首項，以2為公比的等比數列，所以x₄+1=2×2³=16，所以x₄=15；
故選A．

點評 本題考查了平面向量的三角形法則，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用構造法構造等比數列，考查了計算能力，屬于難題．