Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x}&{x∈（{-∞，2}）}\\{3f（{x-2}）}&{x∈[{2，+∞}）}\end{array}}$，則函數(shù)g（x）=f（x）-cosπx在區(qū)間[0，6]內(nèi)所有零點(diǎn)的和為（　�。�

• A． 18
• B． 20
• C． 36
• D． 40

Answer 1

分析 在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)f（x）和y=cosπx在區(qū)間[0，6]的圖象，由圖象的局部對(duì)稱可得結(jié)果．

解答 解：當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f（x）=2x-x²，
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=3f（x-2）=3（x-2）（4-x），
當(dāng)4≤x≤6時(shí)，f（x）=3f（x-2）=9f（x-4）=9（x-4）（6-x），
在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f（x）與函數(shù)y=cosπx的圖象，如圖：
由圖可知可得它們有6個(gè)交點(diǎn)，分別關(guān)于x=1對(duì)稱，關(guān)于x=3對(duì)稱，
關(guān)于x=5對(duì)稱，
則所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為2+6+10=18．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程的根以及函數(shù)圖象的關(guān)系．解題關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象，利用對(duì)稱性求解．屬于較難題．