Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+c在x=1及x=2時取得極值．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）在[-1，2]上的最大值是9，求f（x）在[-1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值，列出方程組求解a，b即可．
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，推出c，然后求解函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+c，可得f′（x）=6x²+6ax+3b
因為函數(shù)f（x）在x=1及x=2時取得極值，則有f′（1）=0，f′（2）=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{6+6a+3b=0}\\{24+12a+3b=0}\end{array}\right.$解得a=-3，b=4．
（2）由（1）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+c，f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
當(dāng)x∈[-1，1]時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，2]時，f′（x）＜0．
f（x）在[-1，2]上的最大值是f（1）=5+c=9，c=4．
此時f（-1）=-19，f（2）=8，所以最小值在x=-1時取得，為-19．

點評 本題考查函數(shù)的極值的求法函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．