Question

9．已知拋物線C：y²=x，過點P（1，0）作直線l交拋物線C于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過A，B分別做拋物線C的切線，兩條切線交于點Q．
（1）求x₁x₂，y₁y₂的值；
（2）證明性質(zhì)：若點（x₀，y₀）（y₀≠0）在拋物線C上，則在此處拋物線的切線斜率為$\frac{1}{2{y}_{0}}$．并求在三角形QAB面積為$\frac{5\sqrt{5}}{4}$時，直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求得y₁y₂，x₁x₂的值；
（2）分別表示出兩個切線方程，聯(lián)立可求得Q的坐標．表示出點Q到直線AB的距離，線段AB的長度，利用三角形面積公式表示出三角形面積，解方程即可得到m，進而得到直線AB的方程．

解答 （1）解：設直線AB的方程為x=my+1，
與拋物線方程聯(lián)立得y²-my-1=0，
△=m²+4＞0，
∴y₁y₂=-1，x₁x₂=y₁²y₂²=1；
（2）證明：由y²=x兩邊對x求導，可得2yy′=1，
即有y′=$\frac{1}{2y}$，
由導數(shù)的幾何意義知在點（x₀，y₀）（y₀≠0）處的切線斜率為$\frac{1}{2{y}_{0}}$；
∴切線QA的方程為y-y₁=$\frac{1}{2{y}_{1}}$（x-y₁²），
即為x-2y₁y+y₁²=0①
同理過B的切線方程為x-2y₂y+y₂²=0②，
由①②，結(jié)合（1）的y₁+y₂=m，y₁y₂=-1，
可得x=-1，y=$\frac{m}{2}$，即有Q（-1，$\frac{m}{2}$），
∵x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8，
∵點Q到直線AB：x=my+1的距離為d=$\frac{|-1-\frac{{m}^{2}}{2}-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{4+{m}^{2}}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
線段AB的長度為$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
S=$\frac{1}{2}$•$\frac{4+{m}^{2}}{2\sqrt{1+{m}^{2}}}$•$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{4+{m}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
解得m=±1，
即有直線AB的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．

點評 本題主要考查了拋物線與直線的位置關(guān)系，點到直線距離公式的應用．考查了學生分析推理和運算的能力．