Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B．
（1）（�。┤魣AO過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e的值；
（ⅱ）若橢圓上存在點P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；
（2）設直線AB與x軸、y軸分別交于點M，N，問當點P在橢圓上運動時，

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

是否為定值？請證明你的結論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）（ⅰ）利用圓O過橢圓的兩個焦點，推出b、c關系，然后求橢圓的離心率e的值；
（ⅱ）通過∠APB=90°，推出|OP|=

2

b，得到a、b不等關系，即可求橢圓離心率e的取值范圍；
（2）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用切線關系，求出PA方程，PB方程，然后求出直線AB的方程，求出|ON|，|OM|，然后推出

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值．

解答： 解：（1）（�。�∵圓O過橢圓的焦點，圓O：x²+y²=b²，∴b=c，
∴b²=a²-c²=c²，a²=2c²，∴e=

2

2

．
（ⅱ）由∠APB=90°及圓的性質，可得|OP|=

2

b，∴|OP|²=2b²≤a²，
∴a²≤2c²∴e2≥

1

2

，

2

2

≤e＜1．
（2）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

y0-y1

x0-x1

=-

x1

y1

，整理得x0x+y0y=x12+y12
∵x12+y12=b2
∴PA方程為：x1x+y1y=b2，PB方程為：x2x+y2y=b2．
從而直線AB的方程為：x0x+y0y=b2．
令x=0，得|ON|=|y|=

b2

|y0|

，令y=0，得|OM|=|x|=

b2

|x0|

，
∴

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

=

a2 y 2 0 +b2 x 2 0

b4

=

a2b2

b4

=

a2

b2

，
∴

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值，定值是

a2

b2

．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，以及圓與圓錐曲線的位置關系，橢圓的基本性質，綜合性比較強，考查邏輯推理以及計算能力，是中檔題．