Question

2．已知過點A（1，0）的直線l與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)）交于P，Q兩點
（1）求直線PQ的參數(shù)方程
（2）求|AP|+|AQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意求出直線l的參數(shù)方程，即是直線PQ的參數(shù)方程；
（2）將曲線C的參數(shù)方程華為直角坐標(biāo)方程，將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，得到參數(shù)t的二次方程，運用韋達(dá)定理求出t₁+t₂、t₁t₂，再化簡|AP|+|AQ|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|，利用二倍角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到最小值．

解答 解：（1）∵過點A（1，0）的直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線PQ的參數(shù)方程是：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
（2）由曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)）得，（x-2）²+（y-1）²=4，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是（x-2）²+（y-1）²=4，
將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，可得t²-2（cosθ+sinθ）t-2=0，
∴t₁+t₂=2（cosθ+sinθ），t₁t₂=-2，
則|AP|+|AQ|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
=$\sqrt{4（cosθ+sinθ）^{2}+8}$=$\sqrt{12+4sin2θ}$，
∴當(dāng)sin2θ=-1，即θ=kπ-$\frac{π}{4}$（k∈Z）時，|AP|+|AQ|取得最小值2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，直線參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義及運用，以及韋達(dá)定理和正弦函數(shù)的值域，考查運算能力，屬于中檔題．