Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（$\sqrt{{a}_{n}}，{S}_{n}$）在曲線y=2x²-2上
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+1-a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的通項和求和的關系，結合等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）求出b_n，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 （1）證明：由于點（$\sqrt{{a}_{n}}，{S}_{n}$，S_n）在曲線y=2x²-2上．
則S_n=2a_n-2，
n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
當n＞1時，S_n-1=2a_n-1-2，
可得S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1=a_n，
即為a_n=2a_n-1，
可得數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）a_n=a₁q^n-1=2ⁿ．
b_n=a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ．
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和的關系，同時考查等比數(shù)列的定義和通項及求和公式的運用，等比數(shù)列求數(shù)列的和的方法，考查運算能力，屬于中檔題．