Question

9．電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名，下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．
（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？

	非體育迷	體育迷	合計
男
女		10	55
合計

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

P（K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

（2）將上述調查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X．若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的頻率分布直方圖得出數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，再代入公式計算得出K²，與3.841比較即可得出結論；
（2）由題意，用頻率代替概率可得出從觀眾中抽取到一名“體育迷”的概率是$\frac{1}{4}$，由于X～B（3，$\frac{1}{4}$），從而給出分布列，再由公式計算出期望與方差即可．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：

	非體育迷	體育迷	合計
男	30	15	45
女	45	10	55
合計	75	25	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得
K²=$\frac{100×（30×10-45×15）^{2}}{75×25×45×55}$≈3.030．…（5分）
因為3.030＜3.841，
所以我們沒有充分理由認為“體育迷”與性別有關．    …（6分）
（2）由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，
即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率．…（7分）
由題意知X～B（3，$\frac{1}{4}$），從而X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

E（X）=np=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
D（X）=np（1-p）=3×$\frac{1}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{16}$…（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗的運用及期望與方差的求法，頻率分布直方圖的性質，涉及到的知識點較多，有一定的綜合性，難度不大，是高考中的易考題型．