Question

17．設(shè)f（x）為定義在$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的函數(shù)，若對(duì)于任意的x∈[-1，1]，都有f（arcsinx）+3f（-arcsinx）=arccosx成立，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]．

Answer 1

分析 $令arcsinx=t（-\frac{π}{2}≤t≤\frac{π}{2}），則arccosx=\frac{π}{2}-t，f（t）+3f（-t）=\frac{π}{2}-t$，將t換為-t，用方程法可求得解析式f（t）=$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$t，故得出答案．

解答 解：令arcsinx=t（-$\frac{π}{2}$≤t≤$\frac{π}{2}$），
則arccosx=$\frac{π}{2}$-t，
即有f（t）+3f（-t）=$\frac{π}{2}$-t，
將t換為-t，可得f（-t）+3f（t）=$\frac{π}{2}$+t，
解得f（t）=$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$t，
即有f（x）=$\frac{π}{8}$+$\frac{1}{2}$x，（-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$），
則有f（x）∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]．
故答案為：[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的求法和值域，考查反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)的關(guān)系及性質(zhì)，屬于中檔題．