Question

2．已知曲線f（x）=ax³+bx²在x=1處的切線為y=3x-1，求：
（1）求f（x）的解析式；
（2）求過原點(diǎn)的f（x）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得在x=1處切線的斜率，由已知切線的方程可得a，b的方程組，解方程可得a，b，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）設(shè)出切點(diǎn)（m，-m³+3m²），求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，代入原點(diǎn)，解方程可得m，進(jìn)而得到切線的方程．

解答 解：（1）f（x）=ax³+bx²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+2bx，
由在x=1處的切線為y=3x-1，
可得f（1）=a+b=2，f′（1）=3a+2b=3，
解方程可得a=-1，b=3，
則f（x）=-x³+3x²；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，-m³+3m²），
f（x）=-x³+3x²的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-3x²+6x，
可得過原點(diǎn)的f（x）的切線斜率為-3m²+6m，
切線的方程為y-（-m³+3m²）=（-3m²+6m）（x-m），
由于切線經(jīng)過（0，0），可得
0-（-m³+3m²）=（-3m²+6m）（0-m），
化為3m²=2m³，解得m=0或$\frac{3}{2}$，
即有切線的方程為y-0=0（x-0）或y-0=$\frac{9}{4}$（x-0），
即為y=0或y=$\frac{9}{4}$x．
即y=0或9x-4y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，注意區(qū)分在某點(diǎn)處和過某點(diǎn)的切線，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯(cuò)題．