Question

6．已知點P為曲線xy-2x-2y+8=0上任意一點，O為坐標原點，則|OP|的最小值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)兩點間的距離公式，利用配方法進行轉化即可得到結論．

解答 解：設P（x，y），
則|OP|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+xy-2x-2y+8}$=$\sqrt{\frac{3}{4}（x-\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{1}{2}x+y-1）^{2}+\frac{2}{3}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
當且僅當x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{2}{3}$取等號，
故|OP|的最小值是$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查兩點間的距離的求解，利用配方法將式子進行配方是解決本題的關鍵．