Question

（18）如圖，在多面體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的長、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h.

（Ⅰ）求側(cè)面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角的正切值；

（Ⅱ）在估測該多面體的體積時，經(jīng)常運用近似公式V_估=S_中截面·h來計算.已知它的體積公式

是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），試判斷V_估與V的大小關(guān)系，并加以證明.

（注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面.）

Answer 1

（18）本小題主要考查直線、平面的位置關(guān)系，考查不等式的基本知識、考查空間想象能力和推理能力.

（Ⅰ）解：過B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G.

∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.

∴∠B₁PG為所求二面角的平面角.

過C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H，由于相對側(cè)面與底面所成二面角大小相等，故四邊形B₁PQC₁為等腰梯形.

∴PG=（b－d），

又B₁G=h ，

∴tanB₁PG=（b＞d），即所求二面角的正切值為.

 

（Ⅱ）V_估＜V.

  證明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V_估= （cd+ab+4··）－·

 

   =［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

  =（a－c）（b－d）＞0，

∴V_估＜V.