Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PC⊥平面ABCD，PC=AB=1．

(1)求直線AC與平面PAB所成角的大��；

(2)在射線CP上確定一點(diǎn)Q，求CQ為多少時(shí)，能使二面角D-AQ-B的度數(shù)為θ，且cosθ=．

第18題圖

Answer 1

答案：(1)解法一：過(guò)點(diǎn)C作為CE⊥PB，垂足為E，連接AE、EC、AC，如圖a所示．

∵AB⊥PC，AB⊥BC，

∴AB⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PBC，

故CE⊥平面PAB，∠EAC為所求的角

在Rt△AEC中，EC=，AC=，∴∠EAC=．

第18題圖

解法二：分別以直線CD，CB，CP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，=(1，1，0)，=(-1，0，0)，=(0，1，-1)，設(shè)n=(x，y，z)為平面PAB的一個(gè)法向量，則,∴,∴,取y=1．

∴n=(0，1，1)．設(shè)直線AC與平面PAB所成的二面角為θ，則sinθ=，θ=.

(2)解法一：如圖b所示，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥QA，垂足為F，

連接FD，BD；

∵△QAB≌△QAO，F(xiàn)D⊥QA，

∴∠BFD是二面角D-QA-B的平面角

設(shè)QC=x，則FD=FB=,

cos∠DFB=，解得x=即為所求的CQ的長(zhǎng)．

第18題圖(續(xù))

解法二：設(shè)：Q(0，0，t)，m=(x，y，z)為平面QAD的一個(gè)法向量，=(0，1，0)，=(-1，0，t)．

由，得

取x=1，∴m=(1，0，)；

同理，平面QAB的一個(gè)法向量n=(0，1，)．

|cosθ|=，解得t=.