Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為

（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，滿足， 是，的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在等差數(shù)列，使對任意都有？若存在，請求出所有滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，

依題意，有即

由 得 ，解得或.

當(dāng)時(shí)，不合題意舍；

當(dāng)時(shí)，代入(2)得，所以， .     

（2）假設(shè)存在滿足條件的數(shù)列，設(shè)此數(shù)列的公差為，則

方法1：，得

對恒成立，

則                  

解得或此時(shí)，或．

故存在等差數(shù)列，使對任意都有．其中，

或．                                         

方法2：令，，得，

令，得，                     

①當(dāng)時(shí)，得或，

若，則，，，對任意都有；

若，則，，，不滿足．

②當(dāng)時(shí)，得或，

若，則，，，對任意都有；

若，則，，，不滿足．

綜上所述，存在等差數(shù)列，使對任意都有．其中，或．