Question

19．在四面體P-ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，則$\frac{a}$的取值范圍是（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 取AB的中點為D，求得CD、PD的值，由題意可得$\frac{a}$＜1①，根據PD＞0求得$\frac{a}$＞$\frac{1}{2}$ ②．再根據△PCD中，任意兩邊之和大于第三邊，求得$\sqrt{2-\sqrt{3}}$＜$\frac{a}$＜$\sqrt{2+\sqrt{3}}$ ③．綜合①②③可得$\frac{a}$的范圍．

解答 解：取AB的中點為D，則由PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，
可得CD⊥AB，PD⊥AB，∴CD=$\sqrt{{BC}^{2}{-BD}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，PD=$\sqrt{{PA}^{2}{-AD}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{^{2}}{4}}$，$\frac{a}$＜1①，
∴a²-$\frac{^{2}}{4}$＞0，求得$\frac{a}$＞$\frac{1}{2}$ ②．
根據△PCD中，任意兩邊之和大于第三邊，可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}-\frac{^{2}}{4}}+\frac{\sqrt{3}}{2}b＞b}\\{b+\frac{\sqrt{3}}{2}b＞\sqrt{{a}^{2}-\frac{^{2}}{4}}}\\{\sqrt{{a}^{2}-\frac{^{2}}{4}}+b＞\frac{\sqrt{3}}{2}b}\end{array}\right.$，
求得（2-$\sqrt{3}$）b²＜a²＜（2+$\sqrt{3}$）b²，故有$\sqrt{2-\sqrt{3}}$＜$\frac{a}$＜$\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ ③．
綜合①②③可得$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{a}$＜1，
故答案為：（$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，1）．

點評 本題主要考查棱錐的結構特征，三角形任意兩邊之和大于第三邊，解根式不等式，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．