Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2）
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2）直接計(jì)算即可；
（Ⅱ）通過(guò)對(duì)a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2）變形可知a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），進(jìn)而利用累加法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2），
∴a₂=3^2-1+1=4，
a₃=3^3-1+4=13；
（Ⅱ）∵a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1，a_n-1-a_n-2=3^n-2，…，a₂-a₁=3¹，
累加得：a_n-a₁=$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{3}{2}$，
∴a_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{3}{2}$+a₁=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{3}{2}$+1=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$（n≥2），
又∵a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，利用累加法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．