Question

8．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B；
（2）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線l：mx-y+1-m=0過定點(diǎn)P（1，1），而點(diǎn)P（1，1）在圓內(nèi)，判定直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B；
（2）設(shè)出弦AB中點(diǎn)M，用弦的中點(diǎn)與圓心連線與割線垂直，求出軌跡方程．

解答 （1）證明：∵直線l：mx-y+1-m=0過定點(diǎn)P（1，1），而點(diǎn)P（1，1）在圓內(nèi)，
∴直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；…（4分）
（2）解：當(dāng)M與P不重合時(shí)，連結(jié)CM、CP，則CM⊥MP，
又因?yàn)閨CM|²+|MP|²=|CP|²，
設(shè)M（x，y）（x≠1），則x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，
化簡(jiǎn)得：x²+y²-x-2y+1=0（x≠1）…（7分）
當(dāng)M與P重合時(shí)，x=1，y=1也滿足上式．
故弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是x²+y²-x-2y+1=0．…（9分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，直線和圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查分析問題解決問題的能力，計(jì)算能力，是中檔題．