Question

12．已知數(shù)列{a_n+1+a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ⁺¹-2，a₁=0．
（1）求數(shù)列{a_n+1+a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求a_2n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)b_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，當(dāng)n=1時(shí)b₁=2滿(mǎn)足n≥2時(shí)b_n的形式，即得結(jié)論；
（2）由a_n+1+a_n=b_n=2ⁿ可得a_n+2+a_n+1=2ⁿ⁺¹，兩式相減得a_n+2-a_n=2ⁿ，利用拆項(xiàng)法將a_2n寫(xiě)成a₂+（a₄-a₂）+（a₆-a₄）+…+（a_2n-2-a_2n-4）+（a_2n-a_2n-2），計(jì)算即可．

解答 解：（1）設(shè)a_n+1+a_n=b_n，
則n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=2，滿(mǎn)足n≥2時(shí)b_n的形式，
∴a_n+1+a_n=b_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知a_n+1+a_n=b_n=2ⁿ，a_n+2+a_n+1=2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得a_n+2-a_n=2ⁿ，
又∵a₁=0，a₁+a₂=2，
∴a₂=2，
∴a_2n=a₂+（a₄-a₂）+（a₆-a₄）+…+（a_2n-2-a_2n-4）+（a_2n-a_2n-2）
=2+2²+2⁴+…+2^2n-4+2^2n-2
=2+$\frac{{2}^{2}-{2}^{2n-2}•{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$
=$\frac{{2}^{2n}}{3}+\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和，利用拆項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．