Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上異于、的動點(diǎn)，且面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在一定點(diǎn)（），使得當(dāng)過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)時，為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）定點(diǎn)為，定值為.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由于面積的最大值為，可得，聯(lián)立，解得即可求出；

（2）首先利用特殊位置探究得到定點(diǎn)的坐標(biāo)與定值，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長的公式證明.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為（），由已知可得①，

∵為橢圓右焦點(diǎn)，∴②，

由①②可得，，

橢圓的方程為；

（2）過點(diǎn)取兩條分別垂直于軸和軸的弦，，

則，即，

解得，∴若存在必為，定值為3，

下證滿足題意，

設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，代入中得：，設(shè)，，則，，

，綜上得定點(diǎn)為，定值為3.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓相交弦長問題.