Question

17．已知集合A，B滿足A∪B={1，2，3，…，8}，A∩B=∅且A≠∅．若A中元素的個數(shù)不是A中的元素，B中元素的個數(shù)不是B中的元素，則滿足條件的所有不同的集合A的個數(shù)為44．

Answer 1

分析 分別就集合A中含有1，2，3，4，5，6，7，8個元素逐一分析，求和后得答案．

解答 解：如果A中有一個元素，那么1不在A中，A={2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{7}，{8}，
當A={2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{8}，時，B中要有7個元素，必含有元素7，與題意不符，
∴A={7}，B={1，2，3，4，5，6，8}；
若A中有2個元素，那么2不在A中，6在A中，從1，3，4，5，8中任取一個共6中取法；
若A中有3個元素，那么3不在A中，5在A中，從1，2，4，6，7，8中任取2個元素共${C}_{6}^{2}$=15種取法；
若A中有4個元素，那么4不在A中，4也不在B中，與A∪B={1，2，3，…，8}矛盾；
若A中有5個元素，那么5不在A中，3在A中，從1，2，4，6，7，8中任取4個元素共${C}_{6}^{4}$=15種取法；
若A中有6個元素，那么6不在A中，2在A中，從1，3，4，5，7，8中任取5個元素共${C}_{6}^{5}$=6種取法；
若A中有7個元素，那么7不在A中，3在A中，從1，2，4，5，6，8中任取6個元素共1種取法；
若A中有8個元素，那么8不在A中，該種情況不存在．
綜上，滿足條件的所有不同的集合A的個數(shù)為44個．
故答案為：44．

點評 本題主要考查排列組合的應用，根據(jù)元素關系分別進行討論是解決本題的關鍵，屬于難題．