Question

8．已知點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，0）是函數(shù)f（x）=（asinx-cosx）cosx+$\frac{1}{2}$圖象的一個(gè)對稱中心．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)銳角三角形ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（A）=1，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求出a；
（2）通過數(shù)據(jù)線的面積，三角形是銳角三角形，利用余弦定理化簡求出c的范圍，然后之后轉(zhuǎn)化求解向量的數(shù)量積的范圍．

解答 解：（1）由題意得f（x）=（asinx-cosx）cosx$+\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
∵f（x）關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{12}$，0）對稱，所以f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{a}{2}$sin$\frac{π}{6}$$-\frac{1}{2}$cos$\frac{π}{6}$=0；
解得a=$\sqrt{3}$．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．銳角三角形ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（A）=1，可得：sin（2x-$\frac{π}{6}$）=1，解得A=$\frac{π}{3}$，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{4}$，所以bc=1，
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=accosB=ac×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-2bccosA+{c}^{2}-^{2}}{2}$=c²-$\frac{1}{2}$．
因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}＞^{2}}\\{{a}^{2}+^{2}＞{c}^{2}}\end{array}\right.$，又a²=b²+c²-1，所以$\left\{\begin{array}{l}{^{2}＞\frac{1}{2}}\\{{c}^{2}＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
又bc=1，所以$\frac{1}{2}$＜c²＜2，
故$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范圍是（0，$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變化的應(yīng)用，考查了正弦定理，余弦定理，向量的數(shù)量積的運(yùn)算等知識的綜合應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，考查了三角函數(shù)的化簡以及利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求sin（2x-$\frac{π}{6}$）的最值．