Question

4．設(shè)F（a，b）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-2b，a≥b}\\{2b-2a，a＜b}\end{array}\right.$，有關(guān)F（a，b）有以下四個(gè)命題：
①?a₀，b₀∈R，使得F（a₀，b₀）＜0；
②若a，b，c∈R，則F（a，b）+F（b，c）≥F（c，a）；
③不等式F（x，2）≤F（1-x，1）的解集是[1，+∞）；
④若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，m[F（x，-2）+F（x，2）]＞2m+6恒成立，則m的取值范圍是[1，+∞）．
則所有正確命題的序號(hào)是②③．

Answer 1

分析 函數(shù)實(shí)際為a-b的絕對(duì)值的2倍，根據(jù)絕對(duì)值定理和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；④用了恒成立問題的轉(zhuǎn)換，只需求出左側(cè)的最小值即可．

解答 解：F（a，b）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-2b，a≥b}\\{2b-2a，a＜b}\end{array}\right.$，
∴F（a，b）≥0，故①錯(cuò)誤；
②根據(jù)絕對(duì)值不等式定理可知正確；
③根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可轉(zhuǎn)化為（x-2）²≤x²，解得：解集是[1，+∞），故正確；
④根據(jù)絕對(duì)值不等式定理可得4＞$\frac{2m+6}{2m}$，解得m的取值范圍是（1，+∞），故錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 考查了抽象函數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題的轉(zhuǎn)換問題．