Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是、，直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是．

（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，與軌跡有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程．

Answer 1

（1），其中；（2）直線的方程為或或

【解析】

試題分析：（1）設(shè)M（，）是軌跡上任意一點(diǎn)，根據(jù)題意，由斜率公式列出直線AM、BM的表達(dá)式，由題，化簡(jiǎn)可得化簡(jiǎn)得軌跡方程為，特別注意

（2）由題意顯然所求直線存在斜率，設(shè)：，根據(jù)（1）點(diǎn)A、B不在軌跡上，所以直線經(jīng)過點(diǎn)A、B時(shí)，與與軌跡有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故分三種情況①當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，；②當(dāng)直線經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)③當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí)，可得三條直線滿足題意

試題解析：（1）設(shè)M（，）是軌跡上任意一點(diǎn)，，

依題意，

整理化簡(jiǎn)得軌跡方程為，其中

（2）顯然所求直線存在斜率，設(shè)：

①當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，，代入得

②當(dāng)直線經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，，代入得

③當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí)，由得

解得

代入得，綜上所述，直線的方程為或或

考點(diǎn)：橢圓方程，直線方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系